0. 学前趣闻
行列式的符号为什么∣A∣|A|∣A∣
历史起源
行列式最早由日本数学家关孝和于1683年在研究方程组时发现但用两条竖线表示行列式的记号 ∣A∣|A|∣A∣ 是由柯西（Cauchy）在1812年首次引入
符号选择的原因
直观性：竖线 ∣|∣ 在视觉上像一个"围栏"或"边界"，暗示着它包含了一个完整的数学对象区分性：需要一个符号能够清晰地与普通括号 ()()()、方括号 [][][] 区分开几何意义：两条竖线也可以理解为"测量"的含义，因为行列式在几何上表示面积或体积
其他常见表示方法
det(A)=det(abcd)=∣abcd∣
det(A) = det\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix} =
\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix}
det(A)=det(acbd)=acbd
符号的演变
最初期：使用 ∑ 符号表示行列式中元素的求和中期：使用 D 或 Det 表示现代：统一使用 ∣A∣|A|∣A∣ 或 det(A)det(A)det(A)
使用这个符号的优势
简洁明了书写方便容易与矩阵的其他运算区分在手写时不容易出错
这个符号的选择体现了数学符号的一个重要原则：既要简单易用，又要富有意义。∣A∣|A|∣A∣ 这个符号完美地满足了这两个要求。
行列式中的'代表什么，比如A’
使用A’（读作"A prime"）是数学中的一种常见符号约定：
撇号（'）通常用来表示对某个对象进行了变换或修改在矩阵运算中，它特别用来表示经过初等变换后的矩阵这种记号简洁明了，能够清晰地表达出这是原矩阵的一个变体
矩阵A’是通过对某个原始矩阵A进行行变换得到的。具体来说：
第一行保持不变: [ab][a \quad b][ab]
第二行是通过将第一行的k倍加到原始第二行上得到的:
[cd]+k[ab]=[c+kad+kb][c \quad d] + k[a \quad b] = [c+ka \quad d+kb][cd]+k[ab]=[c+kad+kb]
这种变换的意义在于：
它保持了矩阵的行列式不变这是求解线性方程组时常用的一种基本行变换在高斯消元法中经常使用这种变换来简化矩阵
0. 温馨提示： 文章的番外才是核心！！
1. 什么是行列式？
行列式是一个重要的数学概念，它将方阵映射到一个标量。对于一个 n×n 的方阵，其行列式是一个数字，记作 det(A)det(A)det(A) 或 ∣A∣|A|∣A∣。
简单的例子
对于2×2矩阵：
A=[abcd]
A = \begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix}
A=[acbd]
其行列式为：
∣A∣=ad−bc
|A| = ad - bc
∣A∣=ad−bc
2. 几何意义
行列式有重要的几何意义：
2×2矩阵的行列式表示对应平行四边形的面积3×3矩阵的行列式表示对应平行六面体的体积行列式的正负表示变换是否改变了坐标系的朝向
3. 行列式的性质
行列式为零的意义
矩阵行列式为0，表示矩阵是奇异的（不可逆）对应的几何变换会导致降维
基本性质
∣AB∣=∣A∣⋅∣B∣
|AB| = |A| \cdot |B|
∣AB∣=∣A∣⋅∣B∣
∣AT∣=∣A∣
|A^T| = |A|
∣AT∣=∣A∣
行列式与矩阵运算
某行（列）乘以k，行列式变为原来的k倍互换两行（列），行列式变号某行（列）的k倍加到另一行（列），行列式不变
4. 计算方法
4.1 二阶行列式
对于2×2矩阵：
∣a11a12a21a22∣=a11a22−a12a21
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}
a11a21a12a22=a11a22−a12a21
4.2 三阶行列式
对于3×3矩阵：
∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}
a11a21a31a12a22a32a13a23a33
可以用萨吕法则计算：
∣A∣=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a12a21a33−a11a23a32
|A| = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32}
∣A∣=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a12a21a33−a11a23a32
5. 应用实例
5.1 克莱姆法则解方程组
对于方程组：
{a11x+a12y=b1a21x+a22y=b2
\begin{cases}
a_{11}x + a_{12}y = b_1 \\
a_{21}x + a_{22}y = b_2
\end{cases}
{a11x+a12y=b1a21x+a22y=b2
解为：
x=∣Ax∣∣A∣,y=∣Ay∣∣A∣
x = \frac{|A_x|}{|A|}, y = \frac{|A_y|}{|A|}
x=∣A∣∣Ax∣,y=∣A∣∣Ay∣
其中：
∣A∣=∣a11a12a21a22∣
|A| = \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix}
∣A∣=a11a21a12a22
博主文章导航： [[10-03-克莱姆法则解方程组]]
5.2 求逆矩阵
对于2×2矩阵，其逆矩阵可以用行列式表示：
A−1=1∣A∣[a22−a12−a21a11]
A^{-1} = \frac{1}{|A|}\begin{bmatrix}
a_{22} & -a_{12} \\
-a_{21} & a_{11}
\end{bmatrix}
A−1=∣A∣1[a22−a21−a12a11]
[[10-04-行列式与矩阵求逆]]
6. 练习例题
例1：计算行列式
∣2134∣
\begin{vmatrix}
2 & 1 \\
3 & 4
\end{vmatrix}
2314
解：
∣A∣=(2×4)−(1×3)=8−3=5
|A| = (2 \times 4) - (1 \times 3) = 8 - 3 = 5
∣A∣=(2×4)−(1×3)=8−3=5
例2：使用行列式求解方程组
{3x+2y=12x−2y=0
\begin{cases}
3x + 2y = 12 \\
x - 2y = 0
\end{cases}
{3x+2y=12x−2y=0
解：
∣A∣=∣321−2∣=−8
|A| = \begin{vmatrix}
3 & 2 \\
1 & -2
\end{vmatrix} = -8
∣A∣=312−2=−8
7. 注意事项
计算行列式时要注意正负号n阶行列式有n!项行列式为0时，对应矩阵不可逆计算高阶行列式时，可以使用降阶方法
行列式是线性代数中的基础概念，掌握它对于理解矩阵运算、线性变换和解线性方程组都非常重要。
番外
番外零： 为什么是∣A∣=ad−bc|A| = ad - bc∣A∣=ad−bc
几何意义解释
行列式 ∣A∣|A|∣A∣ 代表由矩阵的两个行向量所构成的平行四边形的有向面积：
第一个向量是 (a,b)(a,b)(a,b)第二个向量是 (c,d)(c,d)(c,d)平行四边形的面积可以通过叉积计算：ad−bcad-bcad−bc
代数推导
对于2×2矩阵，行列式可以通过对角线法则得到：
∣abcd∣
\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix}
acbd
主对角线乘积：a×d=ada \times d = ada×d=ad（正号）副对角线乘积：b×c=bcb \times c = bcb×c=bc（负号）相减得到：ad−bcad-bcad−bc
排列理论解释
行列式的定义来自于排列：
对于2×2矩阵，只有两种排列：(1,2)(1,2)(1,2) 和 (2,1)(2,1)(2,1)(1,2)(1,2)(1,2) 是偶排列，对应 adadad（正号）(2,1)(2,1)(2,1) 是奇排列，对应 bcbcbc（负号）所以最终结果是 ad−bcad-bcad−bc
为什么不是其他形式
ad+bcad+bcad+bc 不能保持行列式的性质（如行交换改变符号）ac−dbac-dbac−db 不能保持面积的几何意义只有 ad−bcad-bcad−bc 同时满足：
几何性质（面积）代数性质（行交换改变符号）线性性质（分配率）
这就是为什么2×2矩阵的行列式必须是 ad−bcad-bcad−bc 的形式，因为只有这种形式才能同时满足行列式的所有必要性质。
番外一： ∣AB∣=∣A∣⋅∣B∣|AB| = |A| \cdot |B|∣AB∣=∣A∣⋅∣B∣ 为啥成立？
首先，对于2×2矩阵的情况
设：
A=[a11a12a21a22],B=[b11b12b21b22]
A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{bmatrix},
B = \begin{bmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{bmatrix}
A=[a11a21a12a22],B=[b11b21b12b22]
计算 ABABAB：
AB=[(a11b11+a12b21)(a11b12+a12b22)(a21b11+a22b21)(a21b12+a22b22)]
AB = \begin{bmatrix}
(a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21}) & (a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22}) \\
(a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21}) & (a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22})
\end{bmatrix}
AB=[(a11b11+a12b21)(a21b11+a22b21)(a11b12+a12b22)(a21b12+a22b22)]
那么：
∣AB∣=(a11b11+a12b21)(a21b12+a22b22)−(a11b12+a12b22)(a21b11+a22b21)
|AB| = (a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21})(a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22}) - (a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22})(a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21})
∣AB∣=(a11b11+a12b21)(a21b12+a22b22)−(a11b12+a12b22)(a21b11+a22b21)
展开后：
∣AB∣=(a11a22−a12a21)(b11b22−b12b21)=∣A∣⋅∣B∣
|AB| = (a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21})(b_{11}b_{22} - b_{12}b_{21}) = |A| \cdot |B|
∣AB∣=(a11a22−a12a21)(b11b22−b12b21)=∣A∣⋅∣B∣
几何解释
让我通过可视化来解释这个性质：
这个性质的意义
这个性质告诉我们：
如果矩阵A将面积放大了∣A∣|A|∣A∣倍矩阵B将面积放大了∣B∣|B|∣B∣倍那么它们的组合变换将面积放大了∣A∣⋅∣B∣|A| \cdot |B|∣A∣⋅∣B∣倍
重要应用
这个性质有很多重要应用：
a) 求逆矩阵时：
∣A−1∣=1∣A∣
|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}
∣A−1∣=∣A∣1
因为 ∣AA−1∣=∣A∣∣A−1∣=1|AA^{-1}| = |A||A^{-1}| = 1∣AA−1∣=∣A∣∣A−1∣=1
b) 检验矩阵乘法计算：
如果计算 ABABAB 时可以分别计算 ∣A∣|A|∣A∣、∣B∣|B|∣B∣ 和 ∣AB∣|AB|∣AB∣验证是否满足 ∣AB∣=∣A∣⋅∣B∣|AB| = |A| \cdot |B|∣AB∣=∣A∣⋅∣B∣
c) 判断可逆性：
如果 ∣AB∣=0|AB| = 0∣AB∣=0那么要么 ∣A∣=0|A| = 0∣A∣=0，要么 ∣B∣=0|B| = 0∣B∣=0或者两者都为0
推广到高阶矩阵
这个性质对于任意 n×n 矩阵都成立：
3×3矩阵：表示体积的变化更高维：表示超体积的变化
理解这个性质很重要，因为它：
4. 建立了矩阵乘法和几何变换之间的联系
5. 简化了复杂矩阵运算的验证
6. 帮助理解线性变换的复合效果
番外二：为什么 ∣AT∣=∣A∣|A^T| = |A|∣AT∣=∣A∣ 成立。
1. 先看2×2矩阵的例子
原矩阵 AAA：
A=[abcd]
A = \begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix}
A=[acbd]
转置后 ATA^TAT：
AT=[acbd]
A^T = \begin{bmatrix}
a & c \\
b & d
\end{bmatrix}
AT=[abcd]
计算它们的行列式：
∣A∣=ad−bc|A| = ad - bc∣A∣=ad−bc∣AT∣=ad−cb=ad−bc|A^T| = ad - cb = ad - bc∣AT∣=ad−cb=ad−bc
可以看到 ∣AT∣=∣A∣|A^T| = |A|∣AT∣=∣A∣
2. 为什么这个性质成立？
几何意义解释
矩阵 AAA 的行列式表示由其列向量构成的平行四边形的面积矩阵 ATA^TAT 的行列式表示由其列向量（即 AAA 的行向量）构成的平行四边形的面积这两个平行四边形实际上是全等的，只是视角不同因此它们的面积必然相等
代数性质解释
计算行列式时：
AAA 的行列式按行展开ATA^TAT 的行列式按列展开这两种展开方式得到的结果是相同的
实际应用
这个性质在很多计算中都很有用：
有时候按行计算行列式更容易有时候按列计算行列式更容易这个性质告诉我们可以选择更简单的方式
举个例子：
A=[2134]
A = \begin{bmatrix}
2 & 1 \\
3 & 4
\end{bmatrix}
A=[2314]
AT=[2314]
A^T = \begin{bmatrix}
2 & 3 \\
1 & 4
\end{bmatrix}
AT=[2134]
两者的行列式都是：
∣A∣=∣AT∣=(2×4)−(1×3)=8−3=5
|A| = |A^T| = (2 \times 4) - (1 \times 3) = 8 - 3 = 5
∣A∣=∣AT∣=(2×4)−(1×3)=8−3=5
这个性质说明矩阵转置不会改变其行列式的值，这在矩阵理论和实际应用中都是一个非常重要的性质。
番外三：某行（列）乘以k，行列式变为原来的k倍
1. 通过2×2矩阵来理解
原矩阵：
A=[abcd]
A = \begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix}
A=[acbd]
将第一行乘以 k：
A′=[kakbcd]
A' = \begin{bmatrix}
ka & kb \\
c & d
\end{bmatrix}
A′=[kackbd]
计算行列式：
∣A′∣=(ka⋅d)−(kb⋅c)=k(ad−bc)=k∣A∣
|A'| = (ka \cdot d) - (kb \cdot c) = k(ad - bc) = k|A|
∣A′∣=(ka⋅d)−(kb⋅c)=k(ad−bc)=k∣A∣
2. 几何意义
从几何角度看：
行列式代表平行四边形的面积将某一行（列）乘以k，相当于将平行四边形沿着一个方向拉伸k倍面积自然也变为原来的k倍
3. 实际例子
以一个具体的2×2矩阵为例：
A=[2134],∣A∣=5
A = \begin{bmatrix}
2 & 1 \\
3 & 4
\end{bmatrix}, |A| = 5
A=[2314],∣A∣=5
将第一行乘以2：
A′=[4234],∣A′∣=10=2∣A∣
A' = \begin{bmatrix}
4 & 2 \\
3 & 4
\end{bmatrix}, |A'| = 10 = 2|A|
A′=[4324],∣A′∣=10=2∣A∣
4. 这个性质的应用
这个性质在实际计算中很有用：
可以将分数变成整数比如：
|1/2 1| 1 |1 2|
|3 4| = 2 * |3 4|
可以提取公因子简化计算帮助判断行列式的大小关系
5. 注意事项
这个性质对任意行或列都成立可以同时应用于多行或多列如果k=0，行列式变为0如果k为负数，也成立，但要注意符号
这个性质的理解对于：
10. 简化行列式计算
11. 理解线性变换
12. 解线性方程组
都很重要。
番外四：行列式互换两行（列），行列式变号
1. 几何解释
行列式的几何意义是有向面积交换两行（列）相当于改变了基向量的方向这导致定向发生改变（从逆时针变为顺时针，或反之）定向改变意味着面积符号改变
2. 代数验证
以2×2矩阵为例：
A=[abcd],∣A∣=ad−bc
A = \begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix}, |A| = ad - bc
A=[acbd],∣A∣=ad−bc
交换两行后：
A′=[cdab],∣A′∣=cb−ad=−(ad−bc)=−∣A∣
A' = \begin{bmatrix}
c & d \\
a & b
\end{bmatrix}, |A'| = cb - ad = -(ad - bc) = -|A|
A′=[cadb],∣A′∣=cb−ad=−(ad−bc)=−∣A∣
实际例子
∣2134∣=5
\begin{vmatrix}
2 & 1 \\
3 & 4
\end{vmatrix} = 5
2314=5
交换两行：
∣3421∣=−5
\begin{vmatrix}
3 & 4 \\
2 & 1
\end{vmatrix} = -5
3241=−5
重要应用
这个性质在以下情况很有用：
计算行列式时调整行（列）的位置判断排列的奇偶性解线性方程组时的变换
注意事项
连续交换两次相同的行（列），行列式回到原值交换n次，符号变化n次这个性质对任意维度的矩阵都成立
这个性质反映了行列式的一个基本特征：它不仅描述了大小，还描述了方向。
番外五：某行（列）的k倍加到另一行（列），行列式不变
让我通过几何和代数两种方式来解释为什么某行（列）的k倍加到另一行（列），行列式不变。
1. 代数证明
对于2×2矩阵，设：
A=[abcd]
A = \begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix}
A=[acbd]
将第一行的k倍加到第二行：
A′=[abc+kad+kb]
A' = \begin{bmatrix}
a & b \\
c+ka & d+kb
\end{bmatrix}
A′=[ac+kabd+kb]
计算新的行列式：
∣A′∣=a(d+kb)−b(c+ka)=ad+kab−bc−kab=ad−bc=∣A∣
|A'| = a(d+kb) - b(c+ka) = ad+kab-bc-kab = ad-bc = |A|
∣A′∣=a(d+kb)−b(c+ka)=ad+kab−bc−kab=ad−bc=∣A∣
2. 几何解释
原始平行四边形由两个向量确定向一个向量加上另一个向量的k倍，相当于沿着这个方向做剪切变换剪切变换保持平行四边形的面积不变
3. 实例说明
以具体矩阵为例：
∣2134∣=5
\begin{vmatrix}
2 & 1 \\
3 & 4
\end{vmatrix} = 5
2314=5
将第一行的2倍加到第二行：
∣2176∣=5
\begin{vmatrix}
2 & 1 \\
7 & 6
\end{vmatrix} = 5
2716=5
这个性质的应用
在高斯消元法中经常使用简化行列式计算解线性方程组时的基本变换
为什么这个性质很重要
它是初等行变换的基础可以用来将矩阵化简为更容易计算的形式在线性方程组求解中起关键作用
这个性质说明了行列式在某些变换下的不变性，这对于矩阵计算和线性代数的应用都非常重要。
番外六： 三阶行列式计算规律
萨吕斯法则的核心思想
三阶行列式：
D=∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣
D = \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}
D=a11a21a31a12a22a32a13a23a33
计算步骤和技巧
记忆技巧：行列式右侧重复抄写前两行
| a₁₁ a₁₂ a₁₃ | a₁₁ a₁₂ a₁₃
| a₂₁ a₂₂ a₂₃ | a₂₁ a₂₂ a₂₃
| a₃₁ a₃₂ a₃₃ | a₃₁ a₃₂ a₃₃
正项计算（蓝色对角线）：
主对角线：a11a22a33a_{11}a_{22}a_{33}a11a22a33右斜对角线：a12a23a31a_{12}a_{23}a_{31}a12a23a31左斜对角线：a13a21a32a_{13}a_{21}a_{32}a13a21a32
负项计算（红色对角线）：
右侧负对角线：a13a22a31a_{13}a_{22}a_{31}a13a22a31中间负对角线：a11a23a32a_{11}a_{23}a_{32}a11a23a32左侧负对角线：a12a21a33a_{12}a_{21}a_{33}a12a21a33
实际例题演示
计算下面的行列式：
D=∣21−13021−14∣
D = \begin{vmatrix}
2 & 1 & -1 \\
3 & 0 & 2 \\
1 & -1 & 4
\end{vmatrix}
D=23110−1−124
解题步骤：
先写出完整的展开式：
2 1 -1 | 2 1
3 0 2 | 3 0
1 -1 4 |
计算正项（蓝色对角线）：
2⋅0⋅4=02 \cdot 0 \cdot 4 = 02⋅0⋅4=01⋅2⋅1=21 \cdot 2 \cdot 1 = 21⋅2⋅1=2(−1)⋅3⋅(−1)=3(-1) \cdot 3 \cdot (-1) = 3(−1)⋅3⋅(−1)=3正项和 = 0+2+3=50 + 2 + 3 = 50+2+3=5
计算负项（红色对角线）：
(−1)⋅0⋅1=0(-1) \cdot 0 \cdot 1 = 0(−1)⋅0⋅1=02⋅2⋅(−1)=−42 \cdot 2 \cdot (-1) = -42⋅2⋅(−1)=−41⋅3⋅4=121 \cdot 3 \cdot 4 = 121⋅3⋅4=12负项和 = 0−4+12=80 - 4 + 12 = 80−4+12=8
最终结果：
D=5−8=−3D = 5 - 8 = -3D=5−8=−3
使用技巧
对角线追踪法：用手指或笔沿着对角线追踪，避免遗漏或重复正负区分：正项对角线都是从左上到右下方向，负项对角线都是从右上到左下方向零元素利用：若行列式中有零元素，优先计算含零元素的对角线（因为乘积必为零）数字简化：先做乘法，最后统一做加减法，减少计算错误
通过这种可视化的方式和具体的例子，相信你能更好地理解和运用萨吕斯法则。记住，熟能生巧，多做练习才能真正掌握这个技巧。